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屋子裡，徐雲正在侃侃而談： “牛頓先生，韓立爵士計算發現，二項式定理中指數為分數時，可以用e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……來計算。” 說著徐雲拿起筆，在紙上寫下了一行字： 當n=0時，e^x＞1。 “牛頓先生，這裡是從x^0開始的，用0作為起點討論比較方便，您可以理解吧？” 小牛點了點頭，示意自己明白。 隨後徐雲繼續寫道： 假設當n=k時結論成立，即e^x＞1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!（x＞0） 則e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!]＞0 那麼當n=k+1時，令函式f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!（x＞0） 接著徐雲在f(k+1)上畫了個圈，問道： “牛頓先生，您對導數有了解麼？” 小牛繼續點了點頭，言簡意賅的蹦出兩個字： “瞭解。” 學過數學的朋友應該都知道。 導數和積分是微積分最重要的組成部分，而導數又是微分積分的基礎。 眼下已經時值1665年末，小牛對於導數的認知其實已經到了一個比較深奧的地步了。 在求導方面，小牛的介入點是瞬時速度。 速度=路程/時間，這是小學生都知道的公式，但瞬時速度怎麼辦? 比如說知道路程s=t^2，那麼t=2的時候，瞬時速度v是多少呢? 數學家的思維，就是將沒學過的問題轉化成學過的問題。 於是牛頓想了一個很聰明的辦法： 取一個”很短”的時間段△t ，先算算t= 2到t=2+△t 這個時間段內，平均速度是多少。 v=s/t=（4△t+△t^2）/△t=4+△t。 當△t 越來越小，2+△t就越來越接近2 ，時間段就越來越窄。 △t 越來越接近0時，那麼平均速度就越來越接近瞬時速度。 如果△t小到了0 ，平均速度4+△t就變成了瞬時速度4。 當然了。 後來貝克萊發現了這個方法的一些邏輯問題，也就是△t到底是不是0。 如果是0，那麼計算速度的時候怎麼能用△t做分母呢？鮮為人...咳咳，小學生也知道0不能做除數。 到如果不是0，4+△t就永遠變不成4，平均速度永遠變不成瞬時速度。 按照現代微積分的觀念，貝克萊是在質疑lim△t→0是否等價於△t=0。 這個問題的本質實際上是在對初生微積分的一種拷問，用“無限細分”這種運動、模糊的詞語來定義精準的數學，真的合適嗎？ 貝克萊由此引發的一系列討論，便是赫赫有名的第二次數學危機。 甚至有些悲觀黨宣稱數理大廈要坍塌了，我們的世界都是虛假的——然後這些貨真的就跳樓了，在奧地利還留有他們的遺像，某個撲街釣魚佬曾經有幸參觀過一次，跟七個小矮人似的，也不知道是用來被人瞻仰還是鞭屍的。 這件事一直到要柯西和魏爾斯特拉斯兩人的出現，才會徹底有了解釋與定論，並且真正定義了後世很多同學掛的那棵樹。 但那是後來的事情，在小牛的這個年代，新生數學的實用性是放在首位的，因此嚴格化就相對被忽略了。 這個時代的很多人都是一邊利用數學工具做研究，一邊用得出來的結果對工具進行改良最佳化。 偶爾還會出現一些倒黴蛋算著算著，忽然發現自己這輩子的研究其實錯了的情況。 總而言之。 在如今這個時間點，小牛對於求導還是比較熟悉的，只不過還沒有歸納出系統的理論而已。 徐雲見狀又寫到： 對f(k+1)求導，可得f(k+1)'=e^x-1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k! 由假設知f(k+1)'＞0 那麼當x=0時。 f(k+1)=e^0-1-0/1!-0/2!-.-0/k+1!=1-1=0 所以當x＞0時。 因為導數大於0，所
